CÁLCULO AVANZADO PARA INGENIERÍA.

Notaciones matemáticas

Prólogo

1. Álgebra lineal
1.1. Abreviaciones
1.2. Matrices. Operaciones con matrices
1.3. Sistemas de ecuaciones lineales
1.4. Espacios vectoriales
1.5. Espacios vectoriales de dimensión finita
1.6. Aplicaciones lineales
1.7. Determinantes
1.8. Valores propios y vectores propios. Diagonalización
1.9. Problemas resueltos
1.10. Problemas propuestos

2. Funciones vectoriales de varias variables reales
2.1. Introducción y primeras definiciones: funciones vectoriales y funciones escalares
2.1.1. Funciones escalares de varias variables reales
2.2. Topología, límites y continuidad
2.2.1. Entornos
2.2.2. Límite de funciones vectoriales
2.2.3. Método práctico para determinar límites de funciones
2.2.4. Continuidad de funciones de varias variables
2.2.5. Funciones vectoriales de varias variables reales
2.3. Derivadas parciales, diferencial total y matriz jacobiana
2.4. Funciones diferenciables
2.5. Derivadas de funciones compuestas: regla de la cadena
2.5.1. Derivadas parciales de orden superior
2.6. Desarrollo en serie de Taylor de una función de varias variables
2.6.1. Fórmula de Taylor para funciones de varias variables
2.6.2. Fórmula de Taylor de primer orden
2.6.3. Fórmula de Taylor de segundo orden
2.7. Problemas resueltos
2.8. Problemas propuestos

3. Extremos de funciones
3.1. Definiciones y teorema principal
3.1.1. Definiciones
3.1.2. Cálculo de extremos relativos
3.2. Extremos condicionados
3.2.1. Multiplicadores de Lagrange
3.2.2. Resolución del problema de extremos condicionados
3.3. Problemas resueltos
3.4. Problemas propuestos

4. Integral múltiple y aplicaciones
4.1. Introducción: Integral simple
4.1.1. Idea para aproximar el área superiormente
4.1.2. Idea para aproximar el área inferiormente
4.1.3. Integrable en el sentido de Riemann
4.1.4. Regla de Barrow
4.2. Integral doble
4.2.1. Idea para aproximar el volumen superiormente
4.2.2. Idea para aproximar el volumen inferiormente
4.2.3. Integral doble
4.2.4. Cálculo de la integral doble en regiones rectangulares
4.2.5. Cálculo de la integral doble sobre regiones más generales
4.3. Integral triple
4.3.1. Motivación
4.3.2. Cálculo de integrales triples sobre regiones en forma de paralelepípedo
4.3.3. Cálculo integral triple sobre regiones más generales
4.4. Integración por cambio de variable
4.4.1. Motivación
4.4.2. Cambio de variable en una integral doble
4.4.3. Cambio de variable en una integral triple
4.4.4. Cambios de variable usuales
4.5. Aplicaciones
4.5.1. Valor promedio
4.5.2. Centro de masa
4.5.3. Momento de inercia
4.6. Problemas resueltos
4.7. Problemas propuestos

5. Análisis vectorial
5.1. Curvas y trayectorias
5.2. Campos vectoriales
5.3. Divergencia y rotacional
5.4. Integrales sobre trayectorias
5.5. Teorema de Green
5.6. Problemas resueltos
5.7. Problemas propuestos

6. Ecuaciones diferenciales ordinarias
6.1. Ejemplo introductivo
6.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden
6.2.1. Primeras definiciones
6.2.2. Ecuaciones diferenciales de variables separables
6.2.3. Ecuaciones diferenciales de primer orden lineales
6.2.4. Problemas de modelado
6.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden
6.3.1. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden no homogéneas con coeficientes constantes
6.3.2. Problemas de modelado
6.4. Sistemas de ecuaciones diferenciales
6.5. Problemas resueltos
6.6. Problemas propuestos

7. Cálculo operacional
7.1. Transformada de Laplace. Transformada inversa. Linealidad
7.2. Transformada de la derivada. Resolución de ecuaciones diferenciales
7.3. Transformada de Laplace de la integral
7.4. Traslación en s, función escalón unitario, traslación en t
7.4.1. Traslación en s
7.4.2. Función escalón unitario
7.4.3. Traslación en t
7.5. Convolución
7.6. Sistemas de ecuaciones diferenciales
7.7. Transformada de Fourier
7.8. Problemas resueltos
7.9. Problemas propuestos

Bibliografía

Este libro sigue el esquema básico de la asignatura troncal Matemáticas 2 (capítulos 1, 2, 3, 4 y 5) y parte del temario de las asignaturas Matemáticas 1 (capítulo 1) y Matemáticas 3 (capítulos 6 y 7), que los autores imparten en la EUETIB. No obstante, su contenido es perfectamente adaptable a cursos de álgebra lineal, cálculo en varias variables y ecuaciones diferenciales de cualquier ingeniería. El texto tiene como objetivo principal iniciar al estudiante en los conceptos básicos del álgebra lineal, el cálculo de funciones de varias variables, el análisis vectorial, las ecuaciones diferenciales y la teoría de las transformadas.

Los contenidos se estructuran en tres partes. La primera parte trata del álgebra lineal e introduce los conceptos de valores y vectores propios. La segunda parte está dedicada a las funciones de varias variables: nociones básicas de límite, continuidad y derivación; cálculo de extremos libres y condicionados; integración múltiple y análisis vectorial. La tercera parte trata de las ecuaciones diferenciales de primer orden y de orden superior, la transformada de Laplace y la transformada de Fourier. Al final de cada capítulo, se incluye una recopilación de problemas resueltos y propuestos, junto con su resolución utilizando el programa de cálculo simbólico Maple.