CÀLCUL D'UNA VARIABLE

Introducció

1 Els nombres
1.1 Diferents classes de nombres 1
1.2 Els nombres reals
Representació dels nombres sobre una recta
Propietat de densitat de Q i RQ en R
Ordenació dels nombres reals
Intervals i semirectes
Inequacions
Suprem, ínfim, màxim i mínim
Expressió decimal dels nombres reals
Valor absolut i distància
1.3 Els nombres complexos
Operacions amb complexos en forma binòmica
Representació gràfica
Mòdul i argument. Diferents maneres d'expressar un nombre complex
Operacions amb complexos en forma polar
Producte i quocient
Potenciació. Fórmula de De Moivre
Radicació
Arrels enèsimes i polígons
Descomposició d'un polinomi en factors primers
Problemes resolts
Problemes proposats

2 Funcions
2.1 Conceptes bàsics
2.2 Les funcions elementals
Funcions polinòmiques
Funcions racionals
Funcions exponencials
Funcions logarítmiques
Funcions trigonomètriques
Funcions hiperbòliques
2.3 Operacions algebraiques amb funcions
2.4 Composició
2.5 Funció inversa
2.6 Esbós de gràfiques de funcions a partir de funcions donades
2.7 Gràfiques de corbes en coordenades polars
Rectes
Circumferències
Cargols
Lemniscates
Roses
Problemes resolts
Problemes proposats

3 Continuïtat
3.1 Límit d'una funció en un punt
Límits infinits i límits en l'infinit
Operacions amb infinits
3.2 Continuïtat d'una funció
Discontinuïtat
Propietats locals de les funcions contínues
Propietats de la continuïtat global
Problemes resolts
Problemes proposats

4 Derivació
4.1 Definició i interpretació del concepte de derivada
Interpretació física. El problema de la velocitat instantà nia
Interpretació geomètrica. El problema de la recta tangent
Derivades laterals
Idea gràfica de la derivabilitat
Aproximació per la tangent
Derivada com a coeficient de variació o raó de canvi
4.2 Angle d'intersecció entre corbes
4.3 Derivabilitat i continuïtat
4.4 Derivada i operacions algebraiques. Derivades d'ordre superior
Propietats algebraiques de les funcions derivables
Derivades d'ordre superior
4.5 Regla de la cadena
4.6 Derivada de la funció inversa
4.7 Derivades de les principals funcions elementals
4.8 Derivació implícita
Aplicació. Derivada logarítmica
Derivades d'ordre superior implícitament
4.9 Teoremes del valor mitjà i aplicacions
4.10 Extrems absoluts
Extrems absoluts d'una funció contínua f en un interval tancat
Extrems absoluts d'una funció f (contínua o no) en un interval, semirecta...
4.11 Regles de L'Hôpital
Aplicació reiterada de la regla de L'Hôpital
Aplicació a les indeterminacions 0 ·?, ???, 00, ?0 i 1?
4.12 La fórmula de Taylor. Aplicacions
Aproximació de funcions mitjanc¿ant polinomis
Alguns desenvolupaments de Taylor
Infinitèsims. Aplicacions
4.13 Estudi local d'una corba
Problemes resolts
Problemes proposats


5 Integració
5.1 La integral de Riemann. Propietats
Construcció de la integral de Riemann
Propietats de la integral
5.2 Integració i derivació
Funció integral
Teorema fonamental del cà lcul
Corol·laris del teorema fonamental del càlcul
5.3 Càlcul de primitives de funcions
Integrals immediates usuals
Integració per descomposició
Integració per canvi de variable
Integració per parts
Integració de funcions racionals
Integració de funcions trigonomètriques i hiperbòliques
Integrals irracionals senzilles
5.4 Integrals impròpies
5.5 Aplicacions de la integral definida
Àrees planes
Àrees planes en coordenades cartesianes
Àrees planes en coordenades polars
Volums de revolució
Mètode dels discos
Mètode de les capes o tubs
Volums de secció donada
Problemes resolts
Problemes proposats


6 Successions i sèries
6.1 Principi d'inducció matemà tica
6.2 Successions de nombres reals
Operacions amb successions
Límit d'una successió
Successions monòtones
Infinits i infinitèsims
Altres criteris de convergència per a successions
6.3 Sèries numèriques reals
Sèries de termes no negatius. Criteris de convergència
Convergència absoluta i condicional
6.4 Sèries numèriques complexes
6.5 Sèries de potències reals
Continuïtat i derivabilitat d'una sèrie de potències
Integrabilitat d'una sèrie de potències
Operacions amb sèries de potències
Sèrie de Taylor
6.6 Sèries de potències complexes
Problemes resolts
Problemes proposats

7 Conceptes previs
7.1 Test inicial
7.2 Polinomis i equacions
Breu resum teòric
Problemes resolts
Problemes proposats
7.3 Geometria elemental
Breu resum teòric
Problemes resolts
Problemes proposats
7.4 Trigonometria plana
Breu resum teòric
Problemes resolts
Problemes proposats
7.5 Geometria analítica plana
Breu resum teòric
Problemes resolts
Problemes proposats
7.6 Derivades i integrals
Breu resum teòric
Problemes resolts
Problemes proposats

Solucions dels problemes
Bibliografia
Index alfabètic

Uns bons fonaments són la base per assolir els coneixements necessaris per esdevenir un bon professional. La col·lecció Temes Clau hi vol contribuir oferint uns materials de conceptes bàsics de les matèries inicials d'enginyeria i d'arquitectura de la UPC.
D'una manera dinàmica i entenedora, pretén fer progressar l'estudiant pas a pas en els coneixements bàsics de la matèria que s'imparteix al primer curs, amb un sistema progressiu de teoria, problemes i exercicis proposats.
També vol ser un instrument valuós per a tots aquells alumnes que han oblidat o que no han assolit, per raó del camí curricular que han escollit, els coneixements conceptuals bàsics per comprendre i seguir el curs que inicien.
Aquest llibre, fruit de la nostra experiència docent dels darrers anys, vol posar a l'abast de l'estudiantat de les assignatures Càlcul I i Càlcul Infinitesimal I de l'ETSEIAT un resum complet de la teoria que s'imparteix en ambdues assignatures. Aquest resum teòric és acompanyat d'una extensa col·lecció de problemes resolts, que creiem que poden ajudar la persona interessada a entendre millor i a consolidar els conceptes teòrics. Alhora, els problemes resolts es poden utilitzar com a model en el moment que l'alumnat hagi de solucionar altres problemes de forma autònoma. Per afavorir aquest aprenentatge autònom, s'ha inclòs un recull de problemes per resoldre (amb les seves solucions respectives).
El llibre s'estructura en vuit capítols. Als sis primers, es tracten els temes clàssics d'un curs de càlcul d'una variable: (1) els nombres reals i complexos; (2) els conceptes bàsics de les funcions d'una variable real, com les operacions amb funcions o l'esbós de la gràfica d'una funció en coordenades polars; (3) el concepte de límit d'una funció en un punt, la noció de funció contínua i les seves propietats; (4) la derivació de funcions i les seves aplicacions; (5) la integral de Riemann per a funcions d'una variable, els mètodes per determinar primitives i les aplicacions de la integral al càlcul d'àrees planes, de volums de cossos de revolució i de volums de cossos de secció donada; (6) les successions i les sèries, començant pel principi d'inducció matemàtica i acabant amb les sèries de potències, tant reals com complexes, que seran d'utilitat en assignatures posteriors.
El capítol 7 (Conceptes previs) no forma part estrictament del programa de les assignatures de càlcul que s'han mencionat anteriorment, sinó que inclou un breu resum de conceptes teòrics i pràctics que suposadament ja haurien d'haver estat explicats en assignatures prèvies (polinomis i equacions, geometria elemental, trigonometria plana i geometria analítica plana, derivades i integrals). Aquest capítol comença amb un test per mesurar els coneixements inicials de l'alumne o l'alumna.
El capítol vuitè conté les solucions del test i de tots els problemes proposats al llarg del text.
Al final, s'inclou un índex alfabètic per facilitar la localització dels conceptes.